| VF_FFTtoC | VD_FFTtoC | VE_FFTtoC |
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| Funktion | Schnelle Fourier-Transformation (engl. Fast Fourier Transform, FFT) |
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| Syntax C/C++ | #include <VFstd.h>
void VF_FFT( fVector Y, fVector X, ui size, int dir );
void VCF_FFT( cfVector Y, cfVector X, ui size, int dir );
void VF_FFTtoC( cfVector Y, fVector X, ui size ); |
| C++ VecObj | #include <OptiVec.h>
void vector<T>::FFT( const vector<T>& X, int dir=1 );
void vector<complex<T>>::FFT( const vector<complex<T>>& X, int dir=1 );
void vector<complex<T>>::FFTtoC( const vector<T>& X ); |
| Pascal/Delphi | uses VFstd;
procedure VF_FFT( Y, X:fVector; size:UInt; dir:Integer );
procedure VCF_FFT( Y, X:cfVector; size:UInt; dir:Integer );
procedure VF_FFTtoC( Y:cfVector; X:fVector; size:UInt ); |
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| Beschreibung | Die Fourier-Transformation von X wird berechnet und in Y gespeichert. Dabei dürfen X und Y identisch sein (also X durch Y überschrieben werden). Die Vorwärts-Transformation erhält man für dir = 1, die Rückwärts-Transformation für dir = -1. Es wird ein FFT-Algorithmus angewandt, der es erfordert, daß size eine Potenz von 2 sein muß. Wie üblich enthält die Rückwärts-Transformation eine Skalierung des Ergebnisses mit dem Faktor 1.0/size (komplexe FFT) bzw. 2.0/size (reelle FFT). Für Situationen, in denen man diese implizite Skalierung umgehen möchte, spezifiziere man dir = -2.
Komplexe Version: Sowohl X als auch Y enthalten komplexe Zahlen.
Reell-komplexe Version: Der Eingabevektor X ist reell. Der Ausgabevektor Y ist komplex. Da diese Funktion nur eine Vorwärts-Transformation durchführen kann, wird ein Argument "dir" hier nicht benötigt.
Rein reelle Version: Für die Vorwärts-Transformation ist X ein reeller Vektor. Das Ergebnis Y ist zwar als fVector definiert (also als reeller Vektor), besteht aber aus komplexen Zahlen. Diese sind auf spezielle Weise so gepackt, daß sie in den für einen gleich großen reellen Vektor zur Verfügung stehenden Speicherplatz passen (N=size, U ist die unkomprimierte Fourier-Transformierte von X):
| Y0 | Y1 | Y2 | Y3 | ..... | YN-2 | YN-1 |
| U0.Re | UN/2.Re | U1.Re | U1.Im | ..... | UN/2-1.Re | UN/2-1.Im |
Die Begründung für diese Art des Speicherns ist die folgende: Wenn die size Datenpunkte von X eine reelle Funktion der Zeit darstellen, X = g(t), dann liefert die Vorwärts-Transformation von X eine Funktion U=G(f) in der Frequenz-Domäne. Im Prinzip besteht U aus size+1 komplexen Datenpunkten: size/2 Punkte für positive Frequenzen, noch einmal size/2 Punkte für negative Frequenzen sowie einen Punkt für die Frequenz 0.
Nun gilt für die Fourier-Transformierte einer reellen Funktion die Symmetriebedingung G(-f) = |G(f)|* (der Stern bezeichnet die komplex-konjugierte Form). Daher brauchen die Punkte für negative Frequenzen nicht gespeichert zu werden. Die gesamte Information ist bereits in der positiven Hälfte enthalten. Außerdem sind noch das nullte und das Element mit dem Index size/2 der Transformierten reell, ihre Imaginärteile also 0. Diese beiden nehmen demnach nur je einen reellen Speicherplatz in Anspruch, während die noch verbliebenen size/2-1 komplexen Datenpunkte genau in die übrigen size-2 reellen Speicherplätze passen. So ist sichergestellt, daß X von seiner Transformierten überschrieben werden darf, wenn dies gewünscht wird.
Für die reelle Version der Rückwärts-Transformation muß X ein gepackt-komplexer Vektor sein, und man erhält einen reellen Vektor Y.
Bezüglich spezieller Versionen mit den Präfixen VFp_, VFs_ und
VFl_ vergleiche man Kap. 4.8.. |
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| Fehlerbehandlung | Wenn size nicht eine Potenz von 2 ist, wird eine Fehlermeldung "Size must be integer power of 2." ausgegeben und das Programm abgebrochen. |
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